ചന്ദ്രഗ്രഹണത്തിന്റെ ദൈര്‍ഘ്യം കണക്കുകൂട്ടാം

അങ്ങനെ ഞാനും ഒരു പൂര്‍ണ്ണഗ്രഹണം കണ്ടു. ഇതിന് പത്തിരുപത് കൊല്ലമെടുത്തു എന്നത് ജിവിതത്തിലെ ഒരു ട്രാജഡിയായി തോന്നുന്നു. ഏതായാലും ഗ്രഹണസംബന്ധിയായ ഒരു പോസ്റ്റിട്ട് ആഘോഷിച്ചേക്കാം എന്നു വിചാരിച്ചു 🙂

ജ്യോതിശാസ്ത്രപ്രതിഭാസങ്ങള്‍ കുട്ടികള്‍ക്കും മുതിര്‍ന്നവര്‍ക്കും ഒരുപോലെ അദ്ഭുതജനകമാണ്. എങ്കിലും ഇവയൊന്നും മാജിക്കല്ല. മിക്ക ജ്യോതിശാസ്ത്രപ്രതിഭാസങ്ങളെക്കുറിച്ചും (പ്രത്യേകിച്ച് സൗരയൂഥത്തിനുള്ളില്‍ നടക്കുന്നവയെക്കുറിച്ച്)  നമുക്ക് നല്ല ധാരണയുണ്ട്. ലളിതമായ ധാരണകള്‍ മാത്രമുപയോഗിച്ച് ചന്ദ്രഗ്രഹണത്തിന്റെ ഏകദേശദൈര്‍ഘ്യം കണക്കുകൂട്ടുന്നതെങ്ങനെയെന്ന് നോക്കാം.

ഈ പോസ്റ്റിലെ കണക്കുകൂട്ടല്‍ എളുപ്പമാക്കാന്‍ ചില അപ്രോക്സിമേഷനുകള്‍ ഉപയോഗിക്കാം:

1. ഭൂമി സൂര്യനുചുറ്റും സഞ്ചരിക്കുന്നതും ചന്ദ്രന്‍ ഭൂമിക്കുചുറ്റും സഞ്ചരിക്കുന്നതും വൃത്താകാരമായ പഥങ്ങളിലാണ് (യഥാര്‍ത്ഥത്തില്‍ ഇവ യഥാക്രമം 0.017, 0.055 വികേന്ദ്രതയുള്ള ദീര്‍ഘവൃത്തങ്ങളാണ്)
2. രണ്ട് പരിക്രമണപഥങ്ങളും ഒരേ പ്രതലത്തിലാണ് (യഥാര്‍ത്ഥത്തില്‍ ഇവ തമ്മില്‍ 5.1 ഡിഗ്രി ചരിവുണ്ട്)

ചിത്രം കാണുക. Rs, Re എന്നിവ സുര്യന്റെയും ഭൂമിയുടെയും ആരങ്ങളാണ്. ഭൂമിയില്‍ നിന്ന് സൂര്യനിലേക്കുള്ള ദൂരം L ഉം ഭൂമിയില്‍ നിന്ന് ഭൂമിയുടെ നിഴലിന്റെ അറ്റത്തേക്കുള്ള ദുരം X ഉമാണ്. ചന്ദ്രഗ്രഹണം ആരംഭിക്കുന്നത് ചന്ദ്രന്‍ A എന്ന സ്ഥാനത്തെത്തുമ്പോഴാണ് – അതായത് ചന്ദ്രന്‍ നിഴലിലേക്ക് പ്രവേശിക്കാന്‍ തുടങ്ങുമ്പോള്‍. B യിലെത്തുമ്പോള്‍ (ചന്ദ്രന്‍ നിഴലിലേക്ക് പൂര്‍ണ്ണമായി പ്രവേശിച്ചുകഴിയുമ്പോള്‍) പൂര്‍ണ്ണ ചന്ദ്രഗ്രഹണം ആരംഭിക്കുന്നു. C യിലെത്തുമ്പോള്‍ പൂര്‍ണ്ണ ചന്ദ്രഗ്രഹണവും D യിലെത്തുമ്പോള്‍ ചന്ദ്രഗ്രഹണവും അവസാനിക്കുന്നു.

വിക്കിപീഡിയയില്‍ നിന്ന്:
സൂര്യന്റെ ആരം Rs = 6.96 x 10⁵ km
ഭൂമിയുടെ ആരം Re = 6371 km
ഭൂമിയില്‍ നിന്ന് സുര്യനിലേക്കുള്ള ദുരം L = 1.50 x 10⁸ km

സദൃശത്രികോണങ്ങള്‍ ഉപയോഗിച്ച് ഈ സംഖ്യകളില്‍ നിന്നും X കണ്ടുപിടിക്കാം:
Rs/(L+X) = Re/X
=>Rs X = Re(L+X)
=>X=Re L/(Rs-Re)
=>X=1.39 x 10⁶ km

ചാന്ദ്രപഥത്തിന്റെ ദൂരത്തില്‍ നിഴലിന്റെ വ്യാസമാണ് ഇനി കണ്ടുപിടിക്കേണ്ടത്. ഇതിനെ S എന്ന് വിളിക്കുക. ചന്ദ്രന്‍ A യില്‍ നിന്ന് C യിലേക്ക് നീങ്ങാനെടുക്കുന്ന ദുരമാണ് ഇത്. ഭൂമിയില്‍ നിന്ന് ചന്ദ്രനിലേക്കുള്ള ദൂരത്തെ P എന്ന് വിളിക്കുക. (വീണ്ടും വിക്കിപീഡിയയില്‍ നിന്ന്) P=3.84 x 10⁵ km. വീണ്ടും സദൃശത്രികോണങ്ങളുപയോഗിച്ചാല്‍
Re/x=(S/2)/(X-P)
=>S=2(X-P)Re/X
=>S=9207 km

ചന്ദ്രന്റെ വ്യാസത്തെ Dm  എന്ന് വിളിക്കുക. ചന്ദ്രഗ്രഹണത്തിന്റെ സമയം കൊണ്ട് ചന്ദ്രന്‍ A യില്‍ നിന്ന് D യിലേക്ക് സഞ്ചരിക്കുന്നു. ഈ ദുരം S+Dm ആണ്. പൂര്‍ണ്ണചന്ദ്രഗ്രഹണത്തിന്റെ സമയം കൊണ്ട് ചന്ദ്രന്‍ B യില്‍ നിന്ന് C യിലേക്ക് സഞ്ചരിക്കുന്നു. ഈ ദുരം S-Dm ആണ്.

Dm=3474km
ചന്ദ്രന്റെ synodic period (Ts)=42524 മിനിറ്റ്
ഈ സമയം കൊണ്ട് ചന്ദ്രന്‍ സഞ്ചരിക്കുന്ന ദുരം=2*pi*P=2.42 x 10⁶ km
ചന്ദ്രഗ്രഹണത്തിന്റെ ദൈര്‍ഘ്യം=Ts*(S+Dm)/(2*pi*P)=223 മിനിറ്റ്
പൂര്‍ണ്ണ ചന്ദ്രഗ്രഹണത്തിന്റെ ദൈര്‍ഘ്യം=Ts*(S-Dm)/(2*pi*P)=101 മിനിറ്റ്

ഇവിടെ നമ്മള്‍ സുര്യനു ചുറ്റും ഭൂമിയുടെ ചലനം കണക്കിലെടുത്തില്ലെന്നു തോന്നാം. ഇത് ശരിയല്ല. ചന്ദ്രന്റെ sidereal period നു പകരം synodic period ഉപയോഗിക്കുന്നതു വഴി implicit ആയി ഭൂമിയുടെ ചലനവും നാം കണക്കിലെടുത്തിട്ടുണ്ട്.

ഇനി ഇക്കഴിഞ്ഞ ചന്ദ്രഗ്രഹണത്തിന്റെ ദൈര്‍ഘ്യം എത്രയായിരുന്നെന്ന് നോക്കാം. ഈ വിക്കിപീഡീയ താളില്‍ നിന്നും :
പൂര്‍ണ്ണ ചന്ദ്രഗ്രഹണത്തിന്റെ ദൈര്‍ഘ്യം : 100 മിനിറ്റ് 52 സെക്കന്റ്
ചന്ദ്രഗ്രഹണത്തിന്റെ ആകെ ദൈര്‍ഘ്യം : 219 മിനിറ്റ് 58 സെക്കന്റ്

നമ്മുടെ ലളിതമായ കണക്കുകൂട്ടല്‍ പോലും എത്ര കൃത്യമാണെന്ന് നോക്കൂ. സത്യത്തില്‍ ഇത് സംഭവിച്ചത് ഭാഗ്യം കൊണ്ട് മാത്രമാണ്. ഇത്തവണത്തെ ചന്ദ്രഗ്രഹണം ഒരു കേന്ദ്ര ചന്ദ്രഗ്രഹണമായിരുന്നു (central lunar eclipse). അതായത്, ഇത്തവണ ചന്ദ്രഗ്രഹണത്തിനിടയില്‍ ചന്ദ്രന്‍ ഭൂമിയുടെ നിഴലിന്റെ കേന്ദ്രത്തിലൂടെ കടന്നുപോയി. മുകളില്‍ ഉപയോഗിച്ച രണ്ടാമത്തെ അപ്രോക്സിമേഷന്‍ മൂലം നമ്മുടെ കണക്കിന് വലിയ പ്രശ്നങ്ങളൊന്നും വരാതിരുന്നത് ഇതുകൊണ്ടാണ്. ചന്ദ്രന്റെ ഭ്രമണപഥത്തിന്റെ ചരിവുമൂലം മിക്ക ചന്ദ്രഗ്രഹണങ്ങളും കേന്ദ്രഗ്രഹണങ്ങളല്ല. ഇങ്ങനെ വരുമ്പോള്‍ ചന്ദ്രഗ്രഹണത്തിന്റെ സമയം കുറയും, പൂര്‍ണ്ണചന്ദ്രഗ്രഹണം തീരെ സംഭവിക്കാതിരിക്കുകയും ചെയ്യാം. അതുപോലെ ഭൂമിയുടെയും ചന്ദ്രന്റെയും ദീര്‍ഘവൃത്താകാരപഥങ്ങളും ഗ്രഹണസമയത്തെ സ്വാധീനിക്കുന്നു.

ഇതുപോലെ ജ്യോതിശാസ്ത്രത്തിലെ കുറേയേറെ കാര്യങ്ങള്‍ ലളിതമായ കണക്കുകള്‍ മാത്രമുപയോഗിച്ച് ഏകദേശം കണ്ടുപിടിക്കാം. അവ ഏതൊക്കെയാണെന്ന് കണ്ടെത്താന്‍ ശ്രമിക്കൂ.

പിന്‍കുറിപ്പ്: ഈ പോസ്റ്റില്‍ തെറ്റുകളോ മനസ്സിലാകാത്ത കാര്യങ്ങളോ ഉണ്ടെങ്കില്‍ ദയവായി കമന്റ് ചെയ്യുക. തിരുത്തുകളും വിശദീകരണങ്ങളും പോസ്റ്റില്‍ തന്നെ ഉള്‍പ്പെടുത്താം.